INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que pueden resolverse usando un buen número de tediosos cálculos. Sin embargo, la aparición de la computadora ha permitido tener mayor eficiencia y rapidez a la hora de enfrentarse a estos cálculos.

Antes de la aparición de ellas se contaba con tres métodos para la solución de problemas:

Métodos exactos o analíticos: para una limitada clase de problemas que pueden resolverse mediante métodos lineales o con geométrica simple de pocas dimensiones. En consecuencia las soluciones analíticas tienen valor práctico limitado pues la mayoría de los problemas reales no son de tipo lineal e implican formas y procesos complejos.

Métodos gráficos: aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy preciso y se limitan a problemas que pueden describirse en tres dimensiones o menos.

Métodos numéricos: la implementación de este tipo de métodos con uso de la calculadora y reglas de cálculo, que en su mayoría de veces presentaban resultados no consistentes debido a las equivocaciones del trabajo manual. 

APROXIMACIÓN Y ERRORES DE REDONDEO

Definiciones de error

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.

- Errores de redondeo: Este tipo de errores se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un cálculo.

- Errores de truncamiento: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

Cifras significativas

También es conocido como dígitos significativos y se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Él numero de cifras significativas es él numero de dígitos más un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Por ejemplo:

8632574 redondeado a (4cs) es 8633000

3,1415926 redondeado a (5d) es 3,14159

1,6750 redondeado a (2d) es 1,68

Los ceros no son siempre cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados, se deben desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

2. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Exactitud y precisión

La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad y la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

La inexactitud (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad.

Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por:

Valor verdadero = Valor aproximado + Error

Error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Ev = Valor verdadero – Valor aproximado

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10 cm, calcúlese: a) el error y B) el error relativo porcentual de cada caso:

Solución:

a) El error en la medición del puente es de:

Ev = 10 000 – 9 999 = 1 cm

Y para el remache es:

Ev = 10 – 9 = 1 cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

Ev = 1/ 10 000 100% = 0.01 %

Y para el remache es de:

Ev = 1 / 10 100% = 10%

Por lo tanto aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Error numérico total

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme él numero de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).

Errores por equivocación, de planteamiento o incertidumbre en los datos

En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadoramisma. Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.

Errores de formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hacho de que la segunda Ley de Newton no explica los efectos relativisticos.

Incertidumbre en los datos

Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre (sin certeza) de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.

Aproximación y Errores de Redondeo

Aproximaciones y Errores de Redondeo

SERIE DE TAYLOR

Serie de Taylor

SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Polinomios de Taylor

El Teorema de Taylor es una herramienta fundamental, útil y necesaria para el desarrollo y la comprensión de la mayoría de los métodos numéricos que se van a estudiar.

Si P es una función polinómica

Entonces P(x) puede calcularse facilmente cualquiera sea el número x. Pero ta mayoría de las funciones matemáticas no se pueden evaluar en términos de las operaciones elementales aritméticas, por ejemplo: f(x) =cosx ó f(x)= Ln, las cuales pueden ser evaluadas sin el uso de una calculadora o mejor aún, de una computadora.

Dada la function cos x, construimos un polinomio de Taylor lineal P1(x) que imite el comportamiento de la function f(x) en algún punto x=a del dominio y sea casi igual a los puntos cercanos a x=a.

Para determinar Ios coeficientes b1 y b2 de manera úníca en el punto x=a, hacemos:

P1(a) = f(a)

P1*(a) = f*(a)

Por lo que se puede verificar que el polinomio tiene una unica forma:

P1(x)= f(a) + (x-a) f*(a)

Por lo que la gráfica de y= P1(x) es tangente a aquella de y= f(x) en x=a.

 

Ejemplo:

Encuentre P1(x) en a=1 para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0.9) y Ln(1.5).

Solución:

 

Obtención de un Polinomio de Taylor de Orden 2

Deseamos ahora aproximar f(x) mediante un polinomio cuadrático P2(x) en x=a. se nos presentan tres coeficientes en la fórmula del polinomio cuadrático:

Con el obtenemos el polinomio de Taylor de orden 2 en x=a para f(x).

Ejemplo:

Encuentre el polinomio de Taylor de segundo orden en a=1) para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0.9) y Ln(1.5)

Solución:

P2(0.9= -0.105    Ln(0.9)= -0.1053

P2(1.5)= 0.375     Ln(1.5)= 0.4054

En general, podemos aproximar a f(x) en x=a a polinomios que cumplan con las condiciones siguientes:

 

Que es el polinomio de Taylor de orden n. Rn(x) es el resto probable de la serie cuya fórmula para su cálculo es:

Donde z es un número entre a y x (se llama residfuo después de n + 1 términos)

La serie de Taylor se bautizará “serie de Maclaurin” para x=0

Fórmulas y series de Taylor de funciones elementales

esta función puede derivarse infinitamente (derivadas de cualquier orden)

Desarrollemos Taylor para a=0 (a en este caso vale cero)

 Calculemos e^x para x=1 hasta n=6 (grado 6^0) así tenemos:

Tengamos en cuenta que e^0 =1 y e^1= 2.71828, así que e^x<3 (es el límite, por lo que suplantaremos e^z por 3) así que:

Como tenemos 6 términos para hallar el resto utilizaremos el séptimo, n=7 de esa manera:

(el error es menor a 0.001) 

Series de Taylor

serie taylor

Mètodos Numèricos