INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que pueden resolverse usando un buen número de tediosos cálculos. Sin embargo, la aparición de la computadora ha permitido tener mayor eficiencia y rapidez a la hora de enfrentarse a estos cálculos.

Antes de la aparición de ellas se contaba con tres métodos para la solución de problemas:

Métodos exactos o analíticos: para una limitada clase de problemas que pueden resolverse mediante métodos lineales o con geométrica simple de pocas dimensiones. En consecuencia las soluciones analíticas tienen valor práctico limitado pues la mayoría de los problemas reales no son de tipo lineal e implican formas y procesos complejos.

Métodos gráficos: aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy preciso y se limitan a problemas que pueden describirse en tres dimensiones o menos.

Métodos numéricos: la implementación de este tipo de métodos con uso de la calculadora y reglas de cálculo, que en su mayoría de veces presentaban resultados no consistentes debido a las equivocaciones del trabajo manual. 

APROXIMACIÓN Y ERRORES DE REDONDEO

Definiciones de error

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de representar aproximadamente números exactos.

- Errores de redondeo: Este tipo de errores se deben a que las computadoras solo guardan un numero finito de cifras significativas durante un cálculo.

- Errores de truncamiento: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto.

Cifras significativas

También es conocido como dígitos significativos y se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Él numero de cifras significativas es él numero de dígitos más un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Por ejemplo:

8632574 redondeado a (4cs) es 8633000

3,1415926 redondeado a (5d) es 3,14159

1,6750 redondeado a (2d) es 1,68

Los ceros no son siempre cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1. Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados, se deben desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas.

2. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Exactitud y precisión

La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad y la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un numero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

La inexactitud (conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad.

Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por:

Valor verdadero = Valor aproximado + Error

Error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es:

Ev = Valor verdadero – Valor aproximado

Ejemplo:

Supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10000 y 10 cm, calcúlese: a) el error y B) el error relativo porcentual de cada caso:

Solución:

a) El error en la medición del puente es de:

Ev = 10 000 – 9 999 = 1 cm

Y para el remache es:

Ev = 10 – 9 = 1 cm

b) El error relativo porcentual para el puente es de:

Ev = 1/ 10 000 100% = 0.01 %

Y para el remache es de:

Ev = 1 / 10 100% = 10%

Por lo tanto aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede concluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

Error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

Error numérico total

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento. (Los errores de truncamiento decrecen conforme él numero de cálculos aumenta, por lo que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error total lleva al incremento del otro).

Errores por equivocación, de planteamiento o incertidumbre en los datos

En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computadoramisma. Hoy en día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.

Errores de formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hacho de que la segunda Ley de Newton no explica los efectos relativisticos.

Incertidumbre en los datos

Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre (sin certeza) de los datos físicos sobre los que se basa el modelo.

Aproximación y Errores de Redondeo

Aproximaciones y Errores de Redondeo

SERIE DE TAYLOR

Serie de Taylor

SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Polinomios de Taylor

El Teorema de Taylor es una herramienta fundamental, útil y necesaria para el desarrollo y la comprensión de la mayoría de los métodos numéricos que se van a estudiar.

Si P es una función polinómica

Entonces P(x) puede calcularse facilmente cualquiera sea el número x. Pero ta mayoría de las funciones matemáticas no se pueden evaluar en términos de las operaciones elementales aritméticas, por ejemplo: f(x) =cosx ó f(x)= Ln, las cuales pueden ser evaluadas sin el uso de una calculadora o mejor aún, de una computadora.

Dada la function cos x, construimos un polinomio de Taylor lineal P1(x) que imite el comportamiento de la function f(x) en algún punto x=a del dominio y sea casi igual a los puntos cercanos a x=a.

Para determinar Ios coeficientes b1 y b2 de manera úníca en el punto x=a, hacemos:

P1(a) = f(a)

P1*(a) = f*(a)

Por lo que se puede verificar que el polinomio tiene una unica forma:

P1(x)= f(a) + (x-a) f*(a)

Por lo que la gráfica de y= P1(x) es tangente a aquella de y= f(x) en x=a.

 

Ejemplo:

Encuentre P1(x) en a=1 para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0.9) y Ln(1.5).

Solución:

 

Obtención de un Polinomio de Taylor de Orden 2

Deseamos ahora aproximar f(x) mediante un polinomio cuadrático P2(x) en x=a. se nos presentan tres coeficientes en la fórmula del polinomio cuadrático:

Con el obtenemos el polinomio de Taylor de orden 2 en x=a para f(x).

Ejemplo:

Encuentre el polinomio de Taylor de segundo orden en a=1) para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0.9) y Ln(1.5)

Solución:

P2(0.9= -0.105    Ln(0.9)= -0.1053

P2(1.5)= 0.375     Ln(1.5)= 0.4054

En general, podemos aproximar a f(x) en x=a a polinomios que cumplan con las condiciones siguientes:

 

Que es el polinomio de Taylor de orden n. Rn(x) es el resto probable de la serie cuya fórmula para su cálculo es:

Donde z es un número entre a y x (se llama residfuo después de n + 1 términos)

La serie de Taylor se bautizará “serie de Maclaurin” para x=0

Fórmulas y series de Taylor de funciones elementales

esta función puede derivarse infinitamente (derivadas de cualquier orden)

Desarrollemos Taylor para a=0 (a en este caso vale cero)

 Calculemos e^x para x=1 hasta n=6 (grado 6^0) así tenemos:

Tengamos en cuenta que e^0 =1 y e^1= 2.71828, así que e^x<3 (es el límite, por lo que suplantaremos e^z por 3) así que:

Como tenemos 6 términos para hallar el resto utilizaremos el séptimo, n=7 de esa manera:

(el error es menor a 0.001) 

Series de Taylor

serie taylor

Mètodos Numèricos

Bisecciòn

MÈTODOS DE INTERVALOS PARA ECUACIONES NO LINEALES

En la resolución de ecuaciones no lineales se utilizan, salvo soluciones analíticas simples, métodos iterativos que generan una sucesión de valores que tienden al valor de la raíz.

Los métodos de intervalo (Gráfico, Bisección, Regla Falsa) se basan en reducir en cada iteración el intervalo de búsqueda de la solución hasta que se alcanza la precisión deseada.

Presentan la ventaja de acotar no sólo el valor de la función, sino también el intervalo que incluye la raíz.

Los métodos de los intervalos utilizán una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz.

Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.

En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos , que se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar el la raíz (punto c), pero es necesario entonces establecer un intervalo (como el [a,b]).

De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d,f].

Método Gráfico

Si “g(a) < 0 < g(b)”, [g(a) . g(b) <0] (esta desigualdad o lo que está entre corchete, indica que la función tiene un cambio de signo) existe un punto x=c donde f(c)=0

Es decir, como g (c)=0, con a< c< b, entonces c es una raíz de g(x) en el intervalo (a, b)

Ejemplo1:

Halle la raíz de f(x)= cos(x) + x + 1, aplicando método gráfico.

Solución:

Se comienza graficando la función f(x)=cos(x) + x + 1 (ver figura) Ahora hay que tratar de establecer una mejor exactitud para ubicar el punto c o raíz aproximada. La gráfica llevaría este rumbo aproximado.

Método de Bisección

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f es continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), ó f(c) y f(b) tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia.

 

Método de la Falsa posición

El método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

El método de la Falsa Posición asume que la función es aproximadamente lineal en la región local del intervalo, en el que se encuentra la raíz, y usa el cero de la línea recta que conecta los extremos del intervalo como punto de referencia. 

 

MÉTODOS ABIERTOS PARA ECUACIONES NO LINEALES

Método de Newton-Raphson.

El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Método de la secante

El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

Algoritmo: