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sábado, 28 de agosto de 2010
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:
Este conjunto de n ecuaciones con n incógnitas puede ser escrito en forma matricial, obteniéndose el producto de una matriz cuadrada de dimensiones nxn por un vector columna de dimensiones n, siendo esta producto igual a otro vector columna de dimensión n
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Ax = b
Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.
Operaciones elementales entre las filas y columna.- Intercambio entre filas y columnas.
- Multiplicación de un escalar por una fila y/o columna.
- Multiplicación de un escalar por una fila y/o columna mas adición a otra fila y/o columna.
• Métodos directos
Se basan en algoritmos de sustitución sistemáticas que permiten modificar la forma de la matriz a través de una secuencia conocida de cálculos. Son métodos bastantes rápidos para los sistemas relativamente pequeños (aquellos que generan matrices densas que son las que aparecen de orden pequeños y con muy pocos elementos varía aproximadamente con el orden de estos sistemas. Dentro de estos métodos directos tenemos: método de eliminación de gauss y factorización LU.
• Métodos iterativos.
Son más eficaces de trabajar con sistemas de tamaño grande (aquellos que generan matrices esparcidas que son las que aparecen de orden grande y con muchos elementos iguales a ceros). Dentro de los métodos iterativos tenemos: el método de Gauss – Seidel y el método de Sobrerelajación Sucesiva (SOR)
TEOREMA 1 Fundamental del Álgebra Lineal
Sea A una matriz nxn, las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) A es invertible.
(ii) La única solución del sistema homogéneo AX=0, es la trivil (X=0, vector)
(iii) El sistema AX= B tiene una única solución para cada vector B.
(iv) A es equivalente por filas a la matriz identidad ln
(v) A puede escribirse como el producto de matrices elementales.
(vi) Det (A) ≠ 0
(vii) La forma escalonada por fila de A tiene n pivotes.
(viii) Existe una matriz P, una matriz triangular inferior L, con unos en la diagonal principal y una matriz triangular superior invertible U tal que: PA=LU.
MÉTODOS DIRECTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Método de eliminación de Gauss o Triangularización
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.
Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las operaciones básicas e renglón las cuales son presentadas a continuación:
Ejemplo1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Usando el método de eliminación Gaussiana.
Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre -3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue:
Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el signo igual de las ecuaciones obteniendo:
Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2, tendríamos
y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:
y + 2(10) = 2
y + 20 = 2
y = 2- 20
y = -18
Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene:
1x + 2y + 3z = 1
Si z= 10 y y=-18, entonces el valor de x será1:1x + 2y + 3z = 1
x + 2(-18) + 3(10)= 1
x - 36 + 30 = 1
x - 6 = 1
x = 1 + 6
x = 7
La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= -18, y z= 10.
El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales del tipo2×2, 3×3, 4×4 etc. siempre y cuando se respete la relación de al menos tener el mismo número de ecuaciones que de variables.
Ejemplo2:
Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:
x1 +2x2 +3x3. = 94x1 +5x2 +6x3. = 24
3x1 +x2 +2x3. = 4
Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:
- 4x1 - 8x2 -12x3 = -36
4x1 +5x2 + 6x3 = 24
La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
0x1 - 3x2 - 6x3 = 9
3x1 + x2 - 2x3 = 4
Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:
x1 + 2x2 + 3x3. = 9
0x1 - 3x2 - 6x3. = -12
Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
x1 +2x2 + 3x3. = 9
0x1 +x2 + 2x3. = 4
0x1 + 0x2 + x3. = 3
En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:
x3 = 3
x2 = 4 -2 (x3) = - 2
x1 = 9 - 3(x3) - 2(x2) = 4
Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.
M\étodo de eliminación de Gauss-Jordan
Como se ha visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria.
Ejemplo1:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:
( 0 0 0 1 )
Ejemplo2:
Ilustraremos el método de Gauss aplicando el procedimiento a un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:
En el primer paso, multiplicamos la primera ecuación por 12/6 = 2 y la restamos a la segunda, después multiplicamos la primera ecuación por 3/6= 1/2 y la restamos a la tercera y finalmente multiplicamos la primera ecuación por (-6)/6= -1 y la restamos a la cuarta. Los números 2, 1/2 y -1 son los multiplicadores del primer paso del proceso de eliminación. El número 6 es el elemento pivote de este primer paso y la primera fila, que no sufre modificación alguna, se denomina fila pivote. El sistema en estos momentos tiene el siguiente aspecto:
En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se emplea como fila pivote y -4 como elemento pivote. Aplicamos del nuevo el proceso: multiplicamos la segunda fila por (-12)/(-4) = 3 y la restamos de la tercera y después multiplicamos la segunda fila por 2/(-4) = - 1/2y la restamos a la cuarta. Los multiplicadores son en esta ocasión 3 y - 1/2 y el sistema de ecuaciones se reduce a:
El último paso consiste en multiplicar la tercera ecuación por 4/2= 2 y restarla a la cuarta. El sistema resultante resulta ser:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a 44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por (-3)/4 y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operaci\'f3n con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por 2/2= 1 y la restamos a la primera:
Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por (-2)/(-4) y la sumamos a la primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación obtenemos las soluciones:
Solución de sistemas usando pivoteo
Pivoteo Parcial
La onda con el pivoteo es hacer Gauss-Jordan pero eligiendo el mejor valor para hacer cuentas, de manera tal que los errores de las cuentas de la maquinita sean los menores. Así, se implementa un criterio para reordenar filas de manera tal que se queden los valores mayores al momento de dividir. El método consiste en elegir en la iteración i-ésima, el elemento de la columna que sea el de mayor valor absoluto entre todos los que estén por encima de la diagonal, el menor valor de p≥i tal que:
para poder hacer el intercambio Fila i por Fila p.
Para el primer paso en que se logren los ceros inferiores en la primera columna. Luego se procederá a hacer lo mismo para las siguientes dos filas.
Matriz Inversa
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden n que verifica:
A . A-1= A-1. A = I donde I es la matriz identidad de orden n .
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Si existe, A-1 es única.
(A-1)-1= A
Ejemplo:
Descomposición o factorización LU de una matriz cuadrada
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.
La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.
Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].
Pasos para encontrar la matriz triangular superior (matriz [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.
Esquemáticamente se busca lo siguiente:
Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:[A] = [L] [U]
Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.
2. Resolver Ly = b (para encontrar y).
3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".
4. Realizar Ux = y (para encontrar x).
5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
4x1 - 2x2 -x3= 9
NOTA: Recuerde que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.
1 2 - 4 12
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 2.5 - 0.75
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 0 0
0.25 0 0
ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 0 - 0.9285714286
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 1 0
0.25 0.7142857143 1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
y1 = 9
1.25 y1 + y2 =7
y1= 8.9999958604
y2= -4.2500046145
y3= 12.7857109172
El úlltimo paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:
4x1 -2x2 x3= 8.9999958604
El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable.
Antes de ilustrar el método con un ejemplo, es necesario primeramente conocer las operaciones básicas e renglón las cuales son presentadas a continuación:
1. Ambos miembros de una ecuación pueden multiplicarse por una constante diferente de cero.
2. Los múltiplos diferentes de cero de una ecuación pueden sumarse a otra ecuación
3. El orden de las ecuaciones es intercambiable.
Ejemplo1:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x + 2y + 3z = 1
4x + 5y + 6z= -2
7x + 8y + 10z = 5
Donde cada ecuación representa un renglón y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.
Usando el método de eliminación Gaussiana.
Solución:
Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual también es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuación.
Quedando como sigue:
Diagonal principal
La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las operaciones básicas de renglón para las ecuaciones, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.
Multiplico la ecuación 1 por -4 y la resto de la ecuación 2, de igual forma la multiplico por -7 y la resto de la 3 obteniendo.
Después divido la ecuación 2 (renglón 2) entre -3 para hacer el componente de la diagonal principal 1 quedando como sigue:
Multiplico la ecuación 2 (renglón 2) por 6 y lo sumo a la ecuación 3 (renglón 3).
Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuación y también el signo igual de las ecuaciones obteniendo:
Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuación resultante 2, tendríamos
y + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:
y + 2(10) = 2
y + 20 = 2
y = 2- 20
y = -18
Al sustituir estos valores en la ecuación resultante 1 se tiene:
1x + 2y + 3z = 1
Si z= 10 y y=-18, entonces el valor de x será1:
x + 2(-18) + 3(10)= 1
x - 36 + 30 = 1
x - 6 = 1
x = 1 + 6
x = 7
La solución del sistema de ecuaciones sería x= 7, y= -18, y z= 10.
El sistema de eliminación gaussiana es el mismo no importando si es un sistema de ecuaciones lineales del tipo2×2, 3×3, 4×4 etc. siempre y cuando se respete la relación de al menos tener el mismo número de ecuaciones que de variables.
Ejemplo2:
Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:
x1 +2x2 +3x3. = 9
3x1 +x2 +2x3. = 4
Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:
- 4x1 - 8x2 -12x3 = -36
4x1 +5x2 + 6x3 = 24
sumándolas resulta
-3x2 -6x3 = -12La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
0x1 - 3x2 - 6x3 = 9
3x1 + x2 - 2x3 = 4
Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:
x1 + 2x2 + 3x3. = 9
0x1 - 3x2 - 6x3. = -12
0X1 - 5x2 - 11x3. = - 23
Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:
x1 +2x2 + 3x3. = 9
0x1 +x2 + 2x3. = 4
0x1 + 0x2 + x3. = 3
En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:
x3 = 3
x2 = 4 -2 (x3) = - 2
x1 = 9 - 3(x3) - 2(x2) = 4
Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.
M\étodo de eliminación de Gauss-Jordan
Como se ha visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria.
Ejemplo1:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas:
Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo. Intercambiar de posición dos ecuaciones. Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:
Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.
Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.
Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:
( 0 0 0 1 )
Ejemplo2:
Ilustraremos el método de Gauss aplicando el procedimiento a un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas:
En el primer paso, multiplicamos la primera ecuación por 12/6 = 2 y la restamos a la segunda, después multiplicamos la primera ecuación por 3/6= 1/2 y la restamos a la tercera y finalmente multiplicamos la primera ecuación por (-6)/6= -1 y la restamos a la cuarta. Los números 2, 1/2 y -1 son los multiplicadores del primer paso del proceso de eliminación. El número 6 es el elemento pivote de este primer paso y la primera fila, que no sufre modificación alguna, se denomina fila pivote. El sistema en estos momentos tiene el siguiente aspecto:
En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se emplea como fila pivote y -4 como elemento pivote. Aplicamos del nuevo el proceso: multiplicamos la segunda fila por (-12)/(-4) = 3 y la restamos de la tercera y después multiplicamos la segunda fila por 2/(-4) = - 1/2y la restamos a la cuarta. Los multiplicadores son en esta ocasión 3 y - 1/2 y el sistema de ecuaciones se reduce a:
El último paso consiste en multiplicar la tercera ecuación por 4/2= 2 y restarla a la cuarta. El sistema resultante resulta ser:
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss. Tomaremos como pivote el elemento a 44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por (-3)/4 y la restamos a la primera:
Realizamos la misma operaci\'f3n con la segunda y tercera fila, obteniendo:
Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2, multiplicamos la tercera ecuación por 2/2= 1 y la restamos a la primera:
Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos la segunda ecuación por (-2)/(-4) y la sumamos a la primera:
El sistema de ecuaciones anterior es, como hemos visto, fácil de resolver. Empleando la ecuación obtenemos las soluciones:
Solución de sistemas usando pivoteo
Pivoteo Parcial
La onda con el pivoteo es hacer Gauss-Jordan pero eligiendo el mejor valor para hacer cuentas, de manera tal que los errores de las cuentas de la maquinita sean los menores. Así, se implementa un criterio para reordenar filas de manera tal que se queden los valores mayores al momento de dividir. El método consiste en elegir en la iteración i-ésima, el elemento de la columna que sea el de mayor valor absoluto entre todos los que estén por encima de la diagonal, el menor valor de p≥i tal que:
para poder hacer el intercambio Fila i por Fila p.
Ejemplo:
matriz:
matriz:
Para el primer paso en que se logren los ceros inferiores en la primera columna. Luego se procederá a hacer lo mismo para las siguientes dos filas.
Matriz Inversa
La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es la matriz, A-1, de orden n que verifica:
A . A-1= A-1. A = I donde I es la matriz identidad de orden n .
Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.
Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:
Si existe, A-1 es única.
(A-1)-1= A
(A . B)-1 = B-1. A-1
Ejemplo:
Descomposición o factorización LU de una matriz cuadrada
Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el por qué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior.
La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.
Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].
[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.
El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].
Pasos para encontrar la matriz triangular superior (matriz [U])
1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.
2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a cero los valores abajo del pivote.
3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.
4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es:
- factor * pivote + posición a cambiar
Pasos para encontrar la matriz triangular inferior (matriz [L])
Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.
Esquemáticamente se busca lo siguiente:
Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:
Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.
Pasos para resolver un sistema de ecuaciones por el método de descomposición LU
1. Obtener la matriz triangular inferior L y la matriz triangular superior U.2. Resolver Ly = b (para encontrar y).
3. El resultado del paso anterior se guarda en una matriz nueva de nombre "y".
4. Realizar Ux = y (para encontrar x).
5. El resultado del paso anterior se almacena en una matriz nueva llamada "x", la cual brinda los valores correspondientes a las incógnitas de la ecuación.
Ejemplo1:
Encontrar los valores de x1, x2 y x3 para el siguiente sistema de ecuaciones:4x1 - 2x2 -x3= 9
5x1 + x2 - x3= 7
x1 +2x2 -x3= 12NOTA: Recuerde que si la matriz es 2x2 se hará 1 iteración; si es 3x3, 2 iteraciones; si es 4x4, 3 iteraciones; y así sucesivamente.
SOLUCI\'d3N:
4 - 2 - 1 9
[A] = 5 1 - 1 [B] = 71 2 - 4 12
ITERACIÓN 1
factor 1 = (a21 / a11) = 5 / 4 = 1.25
factor 2 = (a31 / a11) = 1 / 4 = 0.25
Encontrando [U]
fila 2 = - (factor 1) * (fila 1) + (fila 2)
fila 3 = - (factor 2) * (fila 1) + (fila 3)
a11 = a11
a12 = a12
a13 = a13
a21 = - (1.25) * (4) + (5) = 0
a22 = - (1.25) * (- 2) + (1) = 3.5
a23 = - (1.25) + (- 1) + (- 1) = 0.25
a31 = - (0.25) * (4) + (1) = 0
a32 = - (0.25) * (- 2) + (2) = 2.5
a33 = - (0.25) * (- 1) + (- 1) = - 0.75
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 2.5 - 0.75
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 0 0
0.25 0 0
ITERACIÓN 2
factor 3 = (u32 / u22) = 2.5 / 3.5 = 0.7142857143
Encontrando [U]
fila 3 = - (factor 3) * (fila 2) + (fila 3)
a31 = - (2.5 / 3.5) * (0) + (0) = 0
a32 = - (2.5 / 3.5) * (3.5) + (2.5) = 0
a33 = - (2.5 / 3.5) * (0.25) + (- 0.75) = - 0.9285714286
4 - 2 - 1
[U] = 0 3.5 0.25
0 0 - 0.9285714286
Encontrando [L]
1 0 0
[L] = 1.25 1 0
0.25 0.7142857143 1
Ahora ya se tiene la matriz [U] y la matriz [L]. El siguiente paso es resolver
Ly = b para encontrar la matriz y. En pocas palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de y1, y2 y y3:
y1 = 9
1.25 y1 + y2 =7
0.25 y1 + 0.7142857143 y2 + y3 = 12
Para resolver el sistema anterior, se obtienen los siguientes valores para y1, y2 y y3:y1= 8.9999958604
y2= -4.2500046145
y3= 12.7857109172
El úlltimo paso es resolver Ux = y para encontrar la matriz x. En otras palabras es como que se pidiera resolver el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los valores de x1, x2 y x3:
4x1 -2x2 x3= 8.9999958604
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