SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x₁, x₂ y x₃ que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

 Este conjunto de n ecuaciones con n incógnitas puede ser escrito en forma matricial, obteniéndose el producto de una matriz cuadrada de dimensiones nxn por un vector columna de dimensiones n, siendo esta producto igual a otro vector columna de dimensión n  

 

 Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Ax = b

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.

Operaciones elementales entre las filas y columna.

-       Intercambio entre filas y columnas.

-       Multiplicación de un escalar por una fila y/o columna.

-       Multiplicación de un escalar por una fila y/o columna mas adición a otra fila y/o columna.

•         Métodos directos

Se basan en algoritmos de sustitución sistemáticas que permiten modificar la forma de la matriz a través de una secuencia conocida de cálculos. Son métodos bastantes rápidos para los sistemas relativamente pequeños (aquellos que generan matrices densas que son las que aparecen de orden pequeños y con muy pocos elementos varía aproximadamente con el orden de estos sistemas. Dentro de estos métodos directos tenemos: método de eliminación de gauss y factorización LU.

•         Métodos iterativos.

Son más eficaces de trabajar con sistemas de tamaño grande (aquellos que generan matrices esparcidas que son las que aparecen de orden grande y con muchos elementos iguales a ceros). Dentro de los métodos iterativos tenemos: el método de Gauss – Seidel y el método de Sobrerelajación Sucesiva (SOR)

TEOREMA 1 Fundamental del Álgebra Lineal

Sea A una matriz nxn, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i)            A es invertible.

(ii)          La única solución del sistema homogéneo AX=0, es la trivil (X=0, vector)

(iii)         El sistema AX= B tiene una única solución para cada vector B.

(iv)         A es equivalente por filas a la matriz identidad l_n

(v)          A puede escribirse como el producto de matrices elementales.

(vi)         Det (A) ≠ 0

(vii)        La forma escalonada por fila de A tiene n pivotes.

(viii)      Existe una matriz P, una matriz triangular inferior L, con unos en la diagonal principal y una matriz triangular superior invertible U tal que: PA=LU.