SERIE DE TAYLOR Y ERRORES DE TRUNCAMIENTO

Polinomios de Taylor

El Teorema de Taylor es una herramienta fundamental, útil y necesaria para el desarrollo y la comprensión de la mayoría de los métodos numéricos que se van a estudiar.

Si P es una función polinómica

Entonces P(x) puede calcularse facilmente cualquiera sea el número x. Pero ta mayoría de las funciones matemáticas no se pueden evaluar en términos de las operaciones elementales aritméticas, por ejemplo: f(x) =cosx ó f(x)= Ln, las cuales pueden ser evaluadas sin el uso de una calculadora o mejor aún, de una computadora.

Dada la function cos x, construimos un polinomio de Taylor lineal P1(x) que imite el comportamiento de la function f(x) en algún punto x=a del dominio y sea casi igual a los puntos cercanos a x=a.

Para determinar Ios coeficientes b1 y b2 de manera úníca en el punto x=a, hacemos:

P1(a) = f(a)

P1*(a) = f*(a)

Por lo que se puede verificar que el polinomio tiene una unica forma:

P1(x)= f(a) + (x-a) f*(a)

Por lo que la gráfica de y= P1(x) es tangente a aquella de y= f(x) en x=a.

 

Ejemplo:

Encuentre P1(x) en a=1 para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0.9) y Ln(1.5).

Solución:

 

Obtención de un Polinomio de Taylor de Orden 2

Deseamos ahora aproximar f(x) mediante un polinomio cuadrático P2(x) en x=a. se nos presentan tres coeficientes en la fórmula del polinomio cuadrático:

Con el obtenemos el polinomio de Taylor de orden 2 en x=a para f(x).

Ejemplo:

Encuentre el polinomio de Taylor de segundo orden en a=1) para f(x)=Ln x y úselo para calcular valores aproximados de Ln(0.9) y Ln(1.5)

Solución:

P2(0.9= -0.105    Ln(0.9)= -0.1053

P2(1.5)= 0.375     Ln(1.5)= 0.4054

En general, podemos aproximar a f(x) en x=a a polinomios que cumplan con las condiciones siguientes:

 

Que es el polinomio de Taylor de orden n. Rn(x) es el resto probable de la serie cuya fórmula para su cálculo es:

Donde z es un número entre a y x (se llama residfuo después de n + 1 términos)

La serie de Taylor se bautizará “serie de Maclaurin” para x=0

Fórmulas y series de Taylor de funciones elementales

esta función puede derivarse infinitamente (derivadas de cualquier orden)

Desarrollemos Taylor para a=0 (a en este caso vale cero)

 Calculemos e^x para x=1 hasta n=6 (grado 6^0) así tenemos:

Tengamos en cuenta que e^0 =1 y e^1= 2.71828, así que e^x<3 (es el límite, por lo que suplantaremos e^z por 3) así que:

Como tenemos 6 términos para hallar el resto utilizaremos el séptimo, n=7 de esa manera:

(el error es menor a 0.001)