domingo, 29 de agosto de 2010

MÈTODOS DE INTERVALOS PARA ECUACIONES NO LINEALES

En la resolución de ecuaciones no lineales se utilizan, salvo soluciones analíticas simples, métodos iterativos que generan una sucesión de valores que tienden al valor de la raíz.

Los métodos de intervalo (Gráfico, Bisección, Regla Falsa) se basan en reducir en cada iteración el intervalo de búsqueda de la solución hasta que se alcanza la precisión deseada.

Presentan la ventaja de acotar no sólo el valor de la función, sino también el intervalo que incluye la raíz.

Los métodos de los intervalos utilizán una propiedad muy importante, consistente en el hecho del cambio de signo de una función en inmediaciones de una raíz.

Se llaman métodos de los intervalos porque se necesitan como mínimo dos valores que forman un intervalo que encierra la raíz.




En la gráfica 2.1 se observa como la función cambia de +f(x) a - f(x), cuando pasa por la raíz c .Esto ocurre porque f (c)= 0 y necesariamente la función pasa del cuadrante positivo al negativo de x. En algunos casos , que se verán más adelante esto no ocurre así, por ahora se asumirá como se ha mostrado. Los métodos abiertos utilizan estos cambios de signo para poder ubicar el la raíz (punto c), pero es necesario entonces establecer un intervalo (como el [a,b]).

De igual manera sucede cuando la función pasa por el punto e, el cambio ocurre de -f(x) a + f(x), para hallar la raíz el método necesita un intervalo como el [d,f].



Método Gráfico

Si “g(a) < 0 < g(b)”, [g(a) . g(b) <0] (esta desigualdad o lo que está entre corchete, indica que la función tiene un cambio de signo) existe un punto x=c donde f(c)=0

Es decir, como g (c)=0, con a< c< b, entonces c es una raíz de g(x) en el intervalo (a, b)

Ejemplo1:

Halle la raíz de f(x)= cos(x) + x + 1, aplicando método gráfico.

Solución:

Se comienza graficando la función f(x)=cos(x) + x + 1 (ver figura) Ahora hay que tratar de establecer una mejor exactitud para ubicar el punto c o raíz aproximada. La gráfica llevaría este rumbo aproximado.
















































Método de Bisección

El método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Supóngase que queremos resolver la ecuación f(x) = 0 (donde f es continua. Dados dos puntos a y b tal que f(a) y f(b) tengan signos distintos, sabemos por el Teorema de Bolzano que f debe tener, al menos, una raíz en el intervalo [a, b]. El método de bisección divide el intervalo en dos, usando un tercer punto c = (a+b) / 2. En este momento, existen dos posibilidades: f(a) y f(c), ó f(c) y f(b) tienen distinto signo. El algoritmo de bisección se aplica al subintervalo donde el cambio de signo ocurre.

El método de bisección es menos eficiente que el método de Newton, pero es mucho más seguro para garantizar la convergencia.










































 










Método de la Falsa posición

El método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

El método de la Falsa Posición asume que la función es aproximadamente lineal en la región local del intervalo, en el que se encuentra la raíz, y usa el cero de la línea recta que conecta los extremos del intervalo como punto de referencia. 






















 

No hay comentarios:

Publicar un comentario